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短除法编辑

短除法是求最大公因数的一种方法,也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法,开始时用观察比较的方法,即:先把每个数的因数找出来,然后再找出公因数,最后在公因数中找出最大公因数。后来,使用分解质因数法来分别分解两个数的因数,再进行运算。之后又演变为短除法,一起用质数除,最后再整理。
中文名
短除法
外文名
Short division
符    号
把除号倒过来写
适用情况
求最大公因数、最小公倍数
计算方法
公因数乘一边,公倍数乘一圈
涉及学科
数学

1基本方法编辑

公约数和公倍数公约数和公倍数
公约数和公倍数
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。
而在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。
求最大公约数便乘一边,求最小公倍数便乘一圈。
(公约数:亦称“公因数”。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;公约数中最大的称为最大公约数。)

2基础知识编辑

如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系,不能单独存在。如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。
  "倍"与"倍数"是不同的两个概念,"倍"是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内,相对于"约数"而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数,它必须是一个自然数。
  几个自然数,公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12、16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12、15、18)=3。
  几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4、6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。

分解质因数法


  把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是
  这几个数的最大公约数。例如:求24和60的最大公约数,先分解质因数,得24=2×2×3,60=2×2×3×5,24与60的全部公有的质因数是2、2、3,它们的积是2×2×3=12,
  所以,(24、60)=12。
  把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。

短除法


  短除法求最大约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然
  后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。例如,求24、48、60的最大公约数。
  (24、48、60)=2×3×2=12
  短除法求最小公倍数,先用这几个数的公约数去除每一个数,再用部分数的公约数去除,并把不能整除的数移下来,一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止,然后把所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数,例如,求12、15、18的最小公倍数。
  (12、15、18)=3×2×2×5×3=180
  无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。这时就需要用新的方法。

3举例说明编辑

例如:求12与18的最大公因数。以下如有约数出现则为因数
短除法例题
12的因数有:1、2、3、4、6、12。
18的因数有:1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有:1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数数,特别是数目较大的数,显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积,但分成质因数连乘积就只有以上一种,而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数,因此这些质因数也都是原数的因数。从分解的结果看,12与18都有公因数2和3,而它们的乘积2×3=6,就是 12与18的最大公因数。
采用分解质因数的方法,也是采用短除的形式,只不过是分别短除,然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除,则更容易找出公约数和最大公约数。
从短除中不难看出,12与18都有公约数2和3,它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较,可以发现:不仅结果相同,而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数,而两个数的最大公约数,就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中,把需要计算的两个或多个数放置在一起,然后进行短除。
词条标签:
计算机术语自然学科科技理学数学
参考资料