多面体欧拉定理

对于n维空间中的简单多面体，其零维对象数（即顶点数）D0、一维对象数（即边数）D1、二维对象数（即面数）D2、三维对象数（即体数）D3、……、n维对象数Dn：

其中符号为正负号交替出现，等式一边是各维对象数的重复加减，等式另一边是1。

一般以V（Vertex）表示零维对象（即顶点）数D0，以E（Edge）表示一维对象（即边、棱）数D1，以F（Flat surface）表示二维对象（即面）数D2，以S（Solid）表示三维对象（即体）数D3，以P表示四维对象数D4。

对于一般的三维空间，该公式表达为：

由于对于一个三维物体，其体数S总是1，则该公式可变形为：

如图（1）多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图（2）

我们在两个图中求所有面的内角总和Σα

一方面，在图（1）中利用面求内角总和。

设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，

各面的内角总和为：

Σα = [(n1-2)·180°+(n2-2)·180°+…+(nF-2) ·180°]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·180°

=(2E-2F) ·180°= (E-F) ·360°（1）

另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180°，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360°，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180°。所以，多面体所有各面的内角和为：

Σα = (V-n)·360°+(n-2)·180°+(n-2)·180°=（V-2）·360°. （2）

由（1）（2）得

(E-F) ·360°=（V-2）·360°

所以 V+F-E=2.

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；

（2）思想方法创新：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：

在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，

所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。