奇数

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奇数（odd）指不能被2整除的整数，数学表达形式为：2k+1，奇数可以分为正奇数和负奇数。

中文名: 奇数
外文名: odd number
表达式: 2k+1(k为整数)

适用领域: 代数
应用学科: 数学
定义: 不能被2整除的整数

定义

播报

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在整数中，不能被2整除的数叫做奇数^[1]。日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟偶数是相对的^[2]。奇数可以分为正奇数和负奇数。奇数的数学表达形式为：

正奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33.........

负奇数：-1、-3、-5、-7、-9、-11、-13、-15、-17、-19、-21、-23.-25、-27、-29、-31、-33.........

性质

播报

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关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数；

（2）奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+...+偶数=偶数；

（3）奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数；

（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数；

（6）奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8；

（7）奇数的平方除以2、4、8余1；

（8）任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数；

（9）奇数除以2余数为1。

与平方数

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著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：将奇数连续相加，每次的得数正好是平方数。这体现在奇数和平方数之间有着密切的重要联系。如：

性质：任意一个奇数都可以写成两个整数平方差的形式。

①如1=1²-0²，3=2²-1²，5=3²-2²...

令正奇数a为第n个正奇数(即n≥1)，则有a=n²-(n-1)²=2n-1;a=(a+1-n)²-(a-n)²=2a-2n+1。

②如-1=0²-1²，-3=1²-2²，-5=2²-3²...

令负奇数b为第n个负奇数(n≥1)，由①改变符号,易得b=-a=(n-1)²-n²=1-2n;

但第二个规律与正奇数的不同。

与素数

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奇数与素数是两个不同的概念，奇数可能是素数，也可能不是素数。例如3是奇数，是素数；9是奇数，但不是素数。

三素数定理：每一个奇数

都能表示成为三个素数的和。^[3]

奇数列

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数列：1，3，5，7，9，…… ，2n-1，... 称为奇数列，通项公式为

。它有一个优美的性质：n取任何正整数时，它的前n项和均是一个完全平方数，即

。

奇数列也可从另一角度进行表述：若

，

，当

时，都有

，则数列

为奇数列。^[4]

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