（1）两个张量的张量积 [2]
注意在张量积中，因子U消耗第一个 rank(U) 指标，而因子V消耗下一个 rank(V) 指标，所以
例轿懂付子：
设U是类型 (1,1) 的张量，带有分量Uβ；并设V是类型 (1,0) 的张量，带有分量V。则
张量积继承它的因子的所有指标。
（2）多重线性映射的张量积
（3）向量空间的张量积
要构造
抹纸战（1）
（2）
几才精懂（3）
这里的
我们可以推出恒等芝笑懂式
结果的张量积
（4）希尔伯特府旬空间的张量积
定判巴义
考虑他们的作为线性空间的张量积
由内积的双线性（Bilinearity），只需定义
其中
性质
如果H1和H2分别有正交基{φk} 和 {ψl}，则 {φk⊗ψl} 是H1⊗H2的正交基。
（5）两个向量空间的张量积
在向量空间范畴，对象之间的同态都是线性映射。但其实我们经常会碰到 “双线性映射” 这种概念，比如内积就是一个双线性映射 V x V --> C. 我们希望把 “双线性” 这种性质归于向量空间范畴。一个办法就是，构造一个跟 V, W 有关的向量空间 Z，使得所有定义在 V x W 上的 “双线性映射” 都可以由 “唯一” 一个定义在 Z 上的 “线性映射” 来代替。这个 Z 就叫 V 和 W 的张量积。
张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射φ把笛卡尔积V×W嵌入到向量空间X的问题。张量积构造V⊗W与给出自
的自然嵌入映射φ:V×W→V⊗W一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对 (X,ψ)，这里的X是向量空间，而 ψ 是双线性映射V×W→X，则存在一个唯一的线性映射
假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。
直接推论是从V×W到X的双线性映射
与对偶空间的关系 [3]
后来的发展表明，“张量积” 可以扩展到一般范畴。凡是在范畴中多个对象得到一个对象，并满足一定结合规则和交换规则的操作都可以视为 “张量积”，比如集合的笛卡儿积，无交并，拓扑空间的乘积，等等，都可以被称为张量积。带有张量积操作的范畴叫做 “张量范畴”。张量范畴被视为量子不变量理论的形式化，从而应该同量子场论，弦论都有深刻的联系。
结果的秩为1，结果的维数为 4×3 = 12。
